问等比数列的公式

【等比数列的公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。这个常数称为公比（记作 $ q $）。等比数列广泛应用于数学、物理、经济等领域，掌握其基本公式有助于快速解决相关问题。

以下是关于等比数列的核心公式总结：

一、基本概念

- 首项：数列的第一个数，记作 $ a_1 $

- 公比：相邻两项的比值，记作 $ q $（$ q \neq 0 $）

- 第 $ n $ 项：数列的第 $ n $ 个元素，记作 $ a_n $

二、核心公式

三、注意事项

1. 公比 $ q $ 的取值范围：

- 若 $ q > 1 $，数列为递增；

- 若 $ 0 < q < 1 $，数列为递减；

- 若 $ q = 1 $，则所有项相等，即为常数列；

- 若 $ q < 0 $，数列为摆动数列（正负交替）。

2. 无穷等比数列的条件：

- 只有当 $ q < 1 $ 时，无穷等比数列才有有限和；

- 若 $ q \geq 1 $，则数列发散，无法求出有限和。

3. 应用举例：

- 计算复利增长；

- 分析指数增长或衰减模型；

- 在金融、生物学、工程等领域广泛应用。

四、示例

已知一个等比数列的首项为 $ a_1 = 2 $，公比 $ q = 3 $，求：

1. 第5项 $ a_5 $

2. 前5项的和 $ S_5 $

解：

1. $ a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162 $

2. $ S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 243}{-2} = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 2 \cdot 121 = 242 $

通过掌握这些公式，可以更高效地处理等比数列相关的数学问题。建议多做练习题以加深理解，并灵活运用到实际问题中。