【三角函数基本公式大全】在数学中，三角函数是研究三角形和周期性现象的重要工具，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。掌握三角函数的基本公式对于理解和解决相关问题至关重要。本文将对常见的三角函数基本公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本定义公式
三角函数通常基于直角三角形或单位圆来定义，主要包括以下六种基本函数：
| 函数名称 | 符号 | 定义式 |
| 正弦 | sin | 对边 / 斜边 |
| 余弦 | cos | 邻边 / 斜边 |
| 正切 | tan | 对边 / 邻边 |
| 余切 | cot | 邻边 / 对边 |
| 正割 | sec | 斜边 / 邻边 |
| 余割 | csc | 斜边 / 对边 |
二、基本恒等式
三角函数之间存在一些重要的恒等关系，有助于简化计算和推导。
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 倒数关系 | $ \sin\theta = \frac{1}{\csc\theta} $, $ \cos\theta = \frac{1}{\sec\theta} $, $ \tan\theta = \frac{1}{\cot\theta} $ |
| 商数关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $, $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ |
| 平方关系 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $, $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $, $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
三、角度变换公式
这些公式用于将一个角度的三角函数转换为另一个角度的三角函数。
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 周期性 | $ \sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta $, $ \cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta $, $ \tan(\theta + \pi) = \tan\theta $ |
| 奇偶性 | $ \sin(-\theta) = -\sin\theta $, $ \cos(-\theta) = \cos\theta $, $ \tan(-\theta) = -\tan\theta $ |
| 互补角公式 | $ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta $, $ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta $ |
| 补角公式 | $ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta $, $ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta $, $ \tan(\pi - \theta) = -\tan\theta $ |
四、和差角公式
用于计算两个角的和或差的三角函数值。
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 正弦和差公式 | $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ |
| 余弦和差公式 | $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ |
| 正切和差公式 | $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ |
五、倍角与半角公式
用于计算角度的两倍或一半的三角函数值。
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | $ \sin(2A) = 2\sin A \cos A $ |
| 余弦倍角公式 | $ \cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A $ |
| 正切倍角公式 | $ \tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A} $ |
| 正弦半角公式 | $ \sin\left(\frac{A}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}} $ |
| 余弦半角公式 | $ \cos\left(\frac{A}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} $ |
| 正切半角公式 | $ \tan\left(\frac{A}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} $ |
六、积化和差与和差化积公式
这些公式可以将乘积形式的三角函数转化为和或差的形式，便于计算。
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 积化和差公式 | $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)] $ $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)] $ $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)] $ |
| 和差化积公式 | $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right) $ $ \sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right) $ $ \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right) $ $ \cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right) $ |
结语
以上内容涵盖了三角函数的基本公式，包括定义、恒等式、角度变换、和差角、倍角与半角、积化和差与和差化积等。熟练掌握这些公式，有助于提高解题效率和理解能力。希望本文能为学习者提供实用的帮助。